جواب کاردرکلاس صفحه 20 ریاضی و آمار دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه 20 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی درود! این تمرین به شما کمک می‌کند تا احتمال پیشامدهای مختلف را در یک آزمایش ترکیبی (سکه و تاس) محاسبه کنید. **فضای نمونه (S):** $\mathbf{|\text{S}| = 12}$. $\mathbf{\text{S} = \left\{ (\text{تاس}, \text{سکه}) \right\}}$ --- ### الف) تاس زوج بیاید (پیشامد $A$) * **حالت‌ها:** تاس $\mathbf{\left\{ 2, 4, 6 \right\}}$ باشد و سکه هر حالتی ($\\text{ر}$ یا $\\text{پ}$) باشد. $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 3 \times 2 = 6$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{6}{12} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$ --- ### ب) سکه پشت بیاید (پیشامد $B$) * **حالت‌ها:** سکه $\mathbf{\text{پ}}$ باشد و تاس هر حالتی ($athbf{1}$ تا $athbf{6}$) باشد. $$\mathbf{B} = \left\{ (1, \text{پ}), (2, \text{پ}), (3, \text{پ}), (4, \text{پ}), (5, \text{پ}), (6, \text{پ}) \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{B}) = 6 \times 1 = 6$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{B}) = \frac{6}{12} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$ --- ### پ) تاس زوج یا سکه رو بیاید (پیشامد $C = A \cup R$) این یک حالت **اجتماع** است. تاس زوج بیاید ($athbf{A}$) و سکه رو بیاید ($athbf{R}$). چون این دو حالت **ناسازگار نیستند**، از فرمول کلی اجتماع استفاده می‌کنیم: $\mathbf{P}(\mathbf{A} \cup \mathbf{R}) = \mathbf{P}(\mathbf{A}) + \mathbf{P}(\mathbf{R}) - \mathbf{P}(\mathbf{A} \cap \mathbf{R})$ 1. **احتمال تاس زوج ($athbf{P}(\mathbf{A})$):** $\mathbf{1/2}$ 2. **احتمال سکه رو ($athbf{P}(\mathbf{R})$):** $\mathbf{n}(\mathbf{R}) = 6$. $\mathbf{P}(\mathbf{R}) = 6/12 = 1/2$ 3. **احتمال اشتراک ($athbf{A} \cap \mathbf{R}$ - تاس زوج و سکه رو):** $\mathbf{n}(\mathbf{A} \cap \mathbf{R}) = 3 \times 1 = 3$ ($\mathbf{(2, \text{ر}), (4, \text{ر}), (6, \text{ر})}$). $$\mathbf{P}(\mathbf{A} \cap \mathbf{R}) = 3/12 = 1/4$$ 4. **احتمال اجتماع:** $$\mathbf{P}(\mathbf{C}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{3}{4}}$$ --- ### ت) تاس فرد و سکه پشت بیاید (پیشامد $D$) این یک حالت **اشتراک** است. تاس فرد ($athbf{O}$) **و** سکه پشت ($athbf{P}$). * **تاس فرد:** $\mathbf{\left\{ 1, 3, 5 \right\}}$. $athbf{3}$ حالت. * **سکه پشت:** $athbf{\left\{ \text{پ} \right\}}$. $athbf{1}$ حالت. $$\mathbf{n}(\mathbf{D}) = 3 \times 1 = 3$$ $$\mathbf{D} = \left\{ (1, \text{پ}), (3, \text{پ}), (5, \text{پ}) \right\}$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{D}) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه 20 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین مربوط به استفاده از **اصل ضرب** در محاسبهٔ احتمال با **تکرار مجاز** (چون تاریخ تولد افراد مستقل از هم است) است. **تعداد کل افراد ($athbf{n}$):** $athbf{5}$ **تعداد کل ماه‌ها ($athbf{k}$):** $athbf{12}$ **فضای نمونه (S):** هر فرد می‌تواند در ۱۲ ماه متولد شود. $\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 12^5 = 248,832$ --- ### الف) هر پنج نفر آن‌ها در ماه فروردین متولد شده باشند (پیشامد $A$) * **شرط:** ماه تولد هر ۵ نفر $athbf{1}$ حالت (فقط فروردین) است. $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1^5 = 1$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{1}{12^5} = \mathbf{\frac{1}{248,832}}$$ --- ### ب) هر پنج نفر آن‌ها در یک ماه از سال متولد شده باشند (پیشامد $B$) * **شرط:** همهٔ ۵ نفر در فروردین **یا** همه در اردیبهشت **یا** $ots$ همه در اسفند متولد شده باشند. (از **اصل جمع** استفاده می‌کنیم.) * **حالت‌ها:** ۱۲ حالت (همه فروردین، یا همه اردیبهشت، ...) $$\mathbf{n}(\mathbf{B}) = 1 \text{ (حالت فروردین) } + 1 \text{ (حالت اردیبهشت) } + \dots + 1 \text{ (حالت اسفند)} = 12 \times 1 = 12$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{B}) = \frac{12}{12^5} = \frac{1}{12^4} = \mathbf{\frac{1}{20,736}}$$ --- ### پ) تولد هیچ دو تایی از آن‌ها در یک ماه نباشد (پیشامد $C$) * **شرط:** ماه تولد هر فرد باید **متفاوت** از ماه تولد سایر افراد باشد (بدون تکرار ماه تولد). * این یک مسئلهٔ **جایگشت** است: $\mathbf{5}$ ماه از $athbf{12}$ ماه را انتخاب می‌کنیم و ترتیب مهم است. $$\mathbf{n}(\mathbf{C}) = \text{P}(12, 5) = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 = 95,040$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{C}) = \frac{\text{P}(12, 5)}{12^5} = \frac{95,040}{248,832} \approx \mathbf{0.3819}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۳ صفحه 20 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین مربوط به محاسبهٔ احتمال مجموع دو تاس است. ابتدا تعداد حالات هر مجموع را از فضای نمونه $\mathbf{|\text{S}| = 36}$ به دست می‌آوریم: | مجموع ($athbf{k}$) | حالات $athbf{n}(\mathbf{k})$ | احتمال $athbf{P}(\mathbf{k}) = \mathbf{\text{n}(\mathbf{k})}/36$ | |:---:|:---:|:---:| | $athbf{2}$ | $\mathbf{1}$ ($\\text{1, 1}$) | $1/36$ | | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{2}$ ($\\text{1, 2}, \text{2, 1}$) | $2/36$ | | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{3}$ ($\\text{1, 3}, \text{2, 2}, \text{3, 1}$) | $3/36$ | | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{4}$ | $4/36$ | | $\mathbf{6}$ | $\mathbf{5}$ | $5/36$ | | $\mathbf{7}$ | $\mathbf{6}$ | $\mathbf{6/36}$ | | $\mathbf{8}$ | $\mathbf{5}$ | $5/36$ | | $\mathbf{9}$ | $\mathbf{4}$ | $4/36$ | | $\mathbf{10}$ | $\mathbf{3}$ | $3/36$ | | $\mathbf{11}$ | $\mathbf{2}$ | $2/36$ | | $\mathbf{12}$ | $\mathbf{1}$ | $1/36$ | --- ### الف) احتمال برنده شدن کدام شماره‌ای نسبت به بقیه بیشتر است؟ * **جواب:** شماره‌ای که بیشترین احتمال وقوع را دارد، $\mathbf{k=7}$ است. * **دلیل:** $athbf{n}(\mathbf{7}) = 6$. این بیشترین تعداد حالت‌های ممکن در پرتاب دو تاس است. $\mathbf{P}(\mathbf{7}) = 6/36 = 1/6$. --- ### ب) احتمال برنده شدن کدام شماره‌ها از همه کمتر است؟ * **جواب:** شماره‌های $athbf{k=2}$ و $athbf{k=12}$. * **دلیل:** $athbf{n}(\mathbf{2}) = 1$ و $athbf{n}(\mathbf{12}) = 1$. این دو مجموع کمترین تعداد حالت ممکن را دارند. $\mathbf{P}(\mathbf{2}) = \mathbf{P}(\mathbf{12}) = 1/36$. --- ### پ) آیا کسی که احتمال برنده شدنش کمتر است، ممکن است در این مسابقه برنده شود؟ چرا؟ * **جواب:** **بله، ممکن است.** * **دلیل:** در احتمال، حتی اگر یک پیشامد احتمال بسیار کمی داشته باشد (مثلاً $\mathbf{1/36}$ برای مجموع ۲ یا ۱۲)، مادامی که احتمال آن **صفر مطلق** نباشد ($\\mathbf{P}(\mathbf{A}) \ne 0$)، وقوع آن در دنیای واقعی **امکان‌پذیر** است. اگر تاس‌ها پرتاب شوند و مجموع ۲ بیاید، نفر شماره ۲ برنده شده است، حتی با کمترین شانس. --- ### ت) تکمیل نمودار میله‌ای نمودار میله‌ای باید برای هر مجموع $athbf{k}$، میله‌ای با ارتفاع $athbf{n}(\mathbf{k}) / 36$ داشته باشد. * میله $athbf{k=7}$ باید بلندترین میله با ارتفاع $athbf{6/36}$ باشد (که در تصویر داده شده است). * میله‌های $athbf{k=2}$ و $athbf{k=12}$ باید کوتاه‌ترین میله‌ها با ارتفاع $athbf{1/36}$ باشند. * میله‌های $athbf{k=3}$ و $athbf{k=11}$ ارتفاع $athbf{2/36}$ دارند. * میله‌های $athbf{k=4}$ و $athbf{k=10}$ ارتفاع $athbf{3/36}$ دارند. * میله‌های $athbf{k=5}$ و $athbf{k=9}$ ارتفاع $athbf{4/36}$ دارند. * میله‌های $athbf{k=6}$ و $athbf{k=8}$ ارتفاع $athbf{5/36}$ دارند.